Новости ВУЗов:

Платников в ВУЗах будет 64%

News image

Немного статистики для нынешних и будущих абитуриентов. В этом учебном году в белорусские вузы планируется принять 81,2 тыс. человек. К...

Желающим работать на селе преграды нет!

News image

Срок отработки после университета по распределению увеличится. Правда эта инициатива в основном коснётся только абитуриентов, желающих пос...




Аксиомы, или Три кита геометрии

Обучение - Современная наука

аксиомы, или три кита геометрии

Аксиомой мы называем утверждение, которое в определённых рамках принимаем за истину без доказательств. Именно на таких утверждениях и строится современная геометрия. Вернее сказать, строилась, ведь начала геометрии были заложены уже давно: метод аксиом впервые начинает работать в геометрических Началах Евклида в 3 веке до н.э.

Вначале задаются первичные неопределяемые понятия. Из школьной геометрии вы наверняка помните, что в качестве таких понятий выступают точки, прямые и расстояния от одной точки до другой. Затем формулируются аксиомы – недоказуемые утверждения, которые связывают свойства первичных понятий. К примеру: через любые две точки проходит прямая линия и притом только одна. Таким образом, аксиомы неявно определяют основные понятия. И уже потом следуют теоремы, которые доказываются по правилам логики на основании принятых аксиом.

На основе всего этого может сложиться ошибочное мнение, что геометрия – оторванная от жизни математическая теория, построенная на каких-то условных соглашениях между математиками. Конечно же, это не так. Аксиомы нужны для того, чтобы было, на чём строить дальнейшие рассуждения и доказывать теоремы. Сами же аксиомы вполне очевидны, имеют опытное происхождение и отражают реальные свойства предметов.

Разные авторы немного по-разному определяли аксиомы и постулаты. Так, для Аристотеля важнейшим свойством аксиом была общепризнанность, для Декарта – очевидность, а для Паскаля – недоказуемость. Я приведу самый распространённый список аксиом Евклидовых Начал:

Равные одному и тому же равны между собой.

Если к равным прибавить равные, то и полученные целые будут равны.

Если от равных отнимаются равные, то и остатки не будут равны.

Если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.

Половины одного и того же равны между собой.

Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Целое всегда больше части.

Две прямые не содержат пространства (тут, очевидно, имеется в виду трёхмерное пространство).

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Также Евклидовы Начала включают в себя следующие постулаты:

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Как мы видим, это вполне очевидные аксиомы, построенные на опытных наблюдениях. Но мы-то с вами знаем, что «в действительности всё не так, как на самом деле» (как произнёс в своё время Станислав Ежи Лец). И в нашем мозгу возникает мысль: А почему собственно эти самые недоказуемые очевидные аксиомы верны? А может быть, в них кроется неочевидная на первый взгляд, но ошибка?

На основе таких рассуждений была построена геометрия Лобачевского, в которой параллельные прямые вопреки аксиоматике Евклида пересекаются. Неевклидова геометрия сделала огромный прорыв в математике, положив начало методу научного исследования с помощью аксиом, показав, что любое утверждение, пусть даже и очевидное на сегодняшний момент, впоследствии может оказаться неверным.




Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Рейтинг ВУЗов России:

News image

18 МТУСИ (Московский Технический Университет Связи и Ин

МТУСИ сегодня - это 9 факультетов, на которых обучаются свыше 15 тысяч студентов, 35 кафедр, работает около 500 профессоров, доц...

News image

11 СГУ им. Н.Г.Чернышевского (Саратовский государственн

Один из старейших российских вузов – Саратовский университет – был основан Высочайшим указом от 10 июня 1909 года. Государственн...

News image

15 МИСиС ГТУ (Государственный технологический университ

В сентябре 1918 года создана Московская горная академия (МГА). В ходе ее преобразования образовалось 6 независимых ВУЗов. Москов...

News image

4 РЭА им. Г.В.Плеханова (Российская Экономическая Акаде

Российская Экономическая Академия (РЭА) им. Г.В. Плеханова была создана еще в начале ХХ века в Москве

News image

17 МИФИ (Московский Инженерно-Физический институт (Госу

Московский Инженерно-Физический институт (МИФИ) является базовым высшим учебным заведением атомной промышленности России, предна...

News image

20 МГУЛ (Московский государственный университет леса)

МГУлеса - специализированное высшее учебное заведение, которое готовит научных работников и инженеров для лесной, целлюлозно-бум...

Новости европейского образования:

Правильный выбор школы - главная составляющая успеха

Самым популярным местом получения образования за пределами России у нас является Великобритания. В сентябре более тысячи российских детей ...

Перед выбором

Сегодня, когда цены на учебу в Швейцарии и Великобритании практически сравнялись, многие родители стоят перед выбором, что предпочесть? Не...

Март — время поторопиться

Поскольку квота для иностранцев в британских частных школах очень невелика, а популярность британского образования неуклонно растет, начин...

Современная наука:

Дедушка транзистор

Самый нужный электронный компонент отпраздновал юбилей Шестьдесят лет назад, 16 декабря 1947 года, исследователи Джон Бардин (John Bard...

Прогресс М-61 затоплен в Тихом океане

Космический грузовик Прогресс М-61 , завершивший свое пребывание на орбите, затоплен в водах Тихого океана, сообщает РИА Новости. Вече...

Возможно, люди смогут жить до 800 лет

Подредактировав нашу ДНК, мы вскоре сможем продлить свою жизнь на сотни лет – если захотим. Стив Коннор сообщает о революционном открыти...

Новости образования:

News image

Вечный студент

Некоторые люди вполне довольны тем, что имеют, т.е. одним дипломом. Однако в других людях тяга к знаниям настолько сильна, что о...

News image

Репетитор: необходимость или избалованность?

Ни для кого не секрет, что, как правило, редко кто из абитуриентов начинает подготовку к централизованному тестированию больше, ...

Проблема заказных работ:

Как выбрать автора-исполнителя

News image

Логично будет предположить, что вы ищете себе в авторы человека, который давно и успешно работает в сфере написания рефератов н...

Предложение рождает спрос или спрос рождает предложение

News image

Проблема, как мне кажется, лежит не в том, что предложение безнравственных писателей порождает спрос студентов, заказывающих дип...

Сделай себя лучшим:

Как улучшить работу мозга

News image

Альваро Фернандес, руководитель знаменитой американской консалтинговой компании SharpBrains, специализирующейся на рынке невроло...

Концентрация внимания – важное условие качественного об

News image

Наверняка вы часто замечали за собой, как трудно бывает сконцентрироваться на тексте конспекта или книги при подготовке к экзаме...

Авторизация