Новости ВУЗов:

Высшее образование – только избранным, или Остаться нельзя уехать

News image

Студенты Белорусского Государственного Университета точно знают, насколько ценны нынче знания. Стоимость года обучения в главном вузе с...

В Беларуси планируется внедрить систему менеджмента качества образован

News image

Беларусь всё больше и больше интегрируется в мировое пространство. Границы стираются, современные технологии дают возможность коммуникации...




Аксиомы, или Три кита геометрии

Обучение - Современная наука

аксиомы, или три кита геометрии

Аксиомой мы называем утверждение, которое в определённых рамках принимаем за истину без доказательств. Именно на таких утверждениях и строится современная геометрия. Вернее сказать, строилась, ведь начала геометрии были заложены уже давно: метод аксиом впервые начинает работать в геометрических Началах Евклида в 3 веке до н.э.

Вначале задаются первичные неопределяемые понятия. Из школьной геометрии вы наверняка помните, что в качестве таких понятий выступают точки, прямые и расстояния от одной точки до другой. Затем формулируются аксиомы – недоказуемые утверждения, которые связывают свойства первичных понятий. К примеру: через любые две точки проходит прямая линия и притом только одна. Таким образом, аксиомы неявно определяют основные понятия. И уже потом следуют теоремы, которые доказываются по правилам логики на основании принятых аксиом.

На основе всего этого может сложиться ошибочное мнение, что геометрия – оторванная от жизни математическая теория, построенная на каких-то условных соглашениях между математиками. Конечно же, это не так. Аксиомы нужны для того, чтобы было, на чём строить дальнейшие рассуждения и доказывать теоремы. Сами же аксиомы вполне очевидны, имеют опытное происхождение и отражают реальные свойства предметов.

Разные авторы немного по-разному определяли аксиомы и постулаты. Так, для Аристотеля важнейшим свойством аксиом была общепризнанность, для Декарта – очевидность, а для Паскаля – недоказуемость. Я приведу самый распространённый список аксиом Евклидовых Начал:

Равные одному и тому же равны между собой.

Если к равным прибавить равные, то и полученные целые будут равны.

Если от равных отнимаются равные, то и остатки не будут равны.

Если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.

Половины одного и того же равны между собой.

Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Целое всегда больше части.

Две прямые не содержат пространства (тут, очевидно, имеется в виду трёхмерное пространство).

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Также Евклидовы Начала включают в себя следующие постулаты:

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Как мы видим, это вполне очевидные аксиомы, построенные на опытных наблюдениях. Но мы-то с вами знаем, что «в действительности всё не так, как на самом деле» (как произнёс в своё время Станислав Ежи Лец). И в нашем мозгу возникает мысль: А почему собственно эти самые недоказуемые очевидные аксиомы верны? А может быть, в них кроется неочевидная на первый взгляд, но ошибка?

На основе таких рассуждений была построена геометрия Лобачевского, в которой параллельные прямые вопреки аксиоматике Евклида пересекаются. Неевклидова геометрия сделала огромный прорыв в математике, положив начало методу научного исследования с помощью аксиом, показав, что любое утверждение, пусть даже и очевидное на сегодняшний момент, впоследствии может оказаться неверным.




Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Рейтинг ВУЗов России:

News image

12 МГИМО (У) МИД России (Московский Государственный Инс

МГИМО-Университет предоставляет широкие возможности получения высшего образования, разных форм повышения квалификации в различны...

News image

16 МИИГАиК (Московский государственный университет геод

В настоящее время университет - крупный учебно-научно-производственный комплекс, включающий семь факультетов дневного обучения, ...

News image

20 МГУЛ (Московский государственный университет леса)

МГУлеса - специализированное высшее учебное заведение, которое готовит научных работников и инженеров для лесной, целлюлозно-бум...

News image

13 МГТУ им.Баумана (Московский Государственный Техничес

МГТУ имени Н.Э. Баумана одно из крупнейших и старейших ВУЗов России. При его создании основной задачей была подготовка высококва...

News image

9 РХТУ им.Менделеева (Российский Химико-Технологический

Российский Химико-Технологический Университет им. Д. И. Менделеева существует уже более 125 лет

News image

6 АБиК (Академия Бюджета и Казначейства Министерства Фи

В 1988 году, по решению Правительства Российской Федерации, при Министерстве финансов был создан Межотраслевой институт повышени...

Новости европейского образования:

Правильный выбор школы - главная составляющая успеха

Самым популярным местом получения образования за пределами России у нас является Великобритания. В сентябре более тысячи российских детей ...

Перед выбором

Сегодня, когда цены на учебу в Швейцарии и Великобритании практически сравнялись, многие родители стоят перед выбором, что предпочесть? Не...

Март — время поторопиться

Поскольку квота для иностранцев в британских частных школах очень невелика, а популярность британского образования неуклонно растет, начин...

Современная наука:

Мобильник вредит сну

Ученые, которые работают на производителей мобильных телефонов, обнаружили, что использование этих устройств перед отходом ко сну может пр...

Ах, эти школьные сочинения!

В комнате царит полумрак. Приглушённый свет лампад, не в силах бороться плотной, укутывающей темнотой, робко освещает лишь малый участок к...

Почему мы так говорим?

Наверняка каждый в детстве задумывался: а почему апельсин назвали именно апельсином, а не, скажем, стулом или тетрадью? Как люди сумели та...

Новости образования:

News image

Вечный студент

Некоторые люди вполне довольны тем, что имеют, т.е. одним дипломом. Однако в других людях тяга к знаниям настолько сильна, что о...

News image

Репетитор: необходимость или избалованность?

Ни для кого не секрет, что, как правило, редко кто из абитуриентов начинает подготовку к централизованному тестированию больше, ...

Проблема заказных работ:

Как выбрать автора-исполнителя

News image

Логично будет предположить, что вы ищете себе в авторы человека, который давно и успешно работает в сфере написания рефератов н...

Рефераты на заказ

News image

Советы, как правильно сформулировать требования к работе, которую вы хотите заказать на стороне. В данном случае мы не будем ...

Сделай себя лучшим:

Как улучшить работу мозга

News image

Альваро Фернандес, руководитель знаменитой американской консалтинговой компании SharpBrains, специализирующейся на рынке невроло...

Концентрация внимания – важное условие качественного об

News image

Наверняка вы часто замечали за собой, как трудно бывает сконцентрироваться на тексте конспекта или книги при подготовке к экзаме...

Авторизация