Новости ВУЗов:

ЕГУ получил университетскую хартию программы Эразмус

News image

Европейский гуманитарный университет первым среди вузов Беларуси и стран СНГ получил университетскую хартию программы Эразмус Еврокомисс...

Высшее образование – только избранным, или Остаться нельзя уехать

News image

Студенты Белорусского Государственного Университета точно знают, насколько ценны нынче знания. Стоимость года обучения в главном вузе с...




Аксиомы, или Три кита геометрии

Обучение - Современная наука

аксиомы, или три кита геометрии

Аксиомой мы называем утверждение, которое в определённых рамках принимаем за истину без доказательств. Именно на таких утверждениях и строится современная геометрия. Вернее сказать, строилась, ведь начала геометрии были заложены уже давно: метод аксиом впервые начинает работать в геометрических Началах Евклида в 3 веке до н.э.

Вначале задаются первичные неопределяемые понятия. Из школьной геометрии вы наверняка помните, что в качестве таких понятий выступают точки, прямые и расстояния от одной точки до другой. Затем формулируются аксиомы – недоказуемые утверждения, которые связывают свойства первичных понятий. К примеру: через любые две точки проходит прямая линия и притом только одна. Таким образом, аксиомы неявно определяют основные понятия. И уже потом следуют теоремы, которые доказываются по правилам логики на основании принятых аксиом.

На основе всего этого может сложиться ошибочное мнение, что геометрия – оторванная от жизни математическая теория, построенная на каких-то условных соглашениях между математиками. Конечно же, это не так. Аксиомы нужны для того, чтобы было, на чём строить дальнейшие рассуждения и доказывать теоремы. Сами же аксиомы вполне очевидны, имеют опытное происхождение и отражают реальные свойства предметов.

Разные авторы немного по-разному определяли аксиомы и постулаты. Так, для Аристотеля важнейшим свойством аксиом была общепризнанность, для Декарта – очевидность, а для Паскаля – недоказуемость. Я приведу самый распространённый список аксиом Евклидовых Начал:

Равные одному и тому же равны между собой.

Если к равным прибавить равные, то и полученные целые будут равны.

Если от равных отнимаются равные, то и остатки не будут равны.

Если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.

Половины одного и того же равны между собой.

Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

Целое всегда больше части.

Две прямые не содержат пространства (тут, очевидно, имеется в виду трёхмерное пространство).

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Также Евклидовы Начала включают в себя следующие постулаты:

От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Как мы видим, это вполне очевидные аксиомы, построенные на опытных наблюдениях. Но мы-то с вами знаем, что «в действительности всё не так, как на самом деле» (как произнёс в своё время Станислав Ежи Лец). И в нашем мозгу возникает мысль: А почему собственно эти самые недоказуемые очевидные аксиомы верны? А может быть, в них кроется неочевидная на первый взгляд, но ошибка?

На основе таких рассуждений была построена геометрия Лобачевского, в которой параллельные прямые вопреки аксиоматике Евклида пересекаются. Неевклидова геометрия сделала огромный прорыв в математике, положив начало методу научного исследования с помощью аксиом, показав, что любое утверждение, пусть даже и очевидное на сегодняшний момент, впоследствии может оказаться неверным.




Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Рейтинг ВУЗов России:

News image

14 МИРЭА (Московский Государственный Институт Радиотехн

Подготовка в интересах государства, общества, личности конкурентоспособных, всесторонне образованных и способных к саморазвитию ...

News image

4 РЭА им. Г.В.Плеханова (Российская Экономическая Акаде

Российская Экономическая Академия (РЭА) им. Г.В. Плеханова была создана еще в начале ХХ века в Москве

News image

18 МТУСИ (Московский Технический Университет Связи и Ин

МТУСИ сегодня - это 9 факультетов, на которых обучаются свыше 15 тысяч студентов, 35 кафедр, работает около 500 профессоров, доц...

News image

3 МГИУ (Московский Государственный Индустриальный Униве

Университет осуществляет образовательную деятельность в соответствии с законодательством РФ и готовит специалистов по очной, очн...

News image

10 МГЛУ (Московский Государственный Лингвистический Уни

МГЛУ - базовое учебное заведение российского Учебно-методического объединения (УМО) по образованию в области лингвистики, которо...

News image

2 ГУ-ВШЭ (Государственный Университет - Высшая Школа Эк

В конце 90-х годов несколько преподавателей экономики факультета МГУ осознали неизбежность основания новой экономической школы, ...

Новости европейского образования:

Правильный выбор школы - главная составляющая успеха

Самым популярным местом получения образования за пределами России у нас является Великобритания. В сентябре более тысячи российских детей ...

Перед выбором

Сегодня, когда цены на учебу в Швейцарии и Великобритании практически сравнялись, многие родители стоят перед выбором, что предпочесть? Не...

Март — время поторопиться

Поскольку квота для иностранцев в британских частных школах очень невелика, а популярность британского образования неуклонно растет, начин...

Современная наука:

Голубой титан

Ученые из Рочестерского университета разработали методику воздействия лазерного излучения на металлы, применяя которую можно окрасить алюм...

Топ 10 языков программирования по версии работодателей

Топ 10 языков программирования по версии работодателей. Рейтинг составлен на основе объявлений о поиске специалистов на вакантные места в ...

Искусственная жизни или доктор Франкенштейн 2

Биолог и предприниматель Крейг Вентер объявил о создании синтетической хромосомы. Тем самым преодолено одно из последних препятствий на пу...

Новости образования:

News image

Вечный студент

Некоторые люди вполне довольны тем, что имеют, т.е. одним дипломом. Однако в других людях тяга к знаниям настолько сильна, что о...

News image

Репетитор: необходимость или избалованность?

Ни для кого не секрет, что, как правило, редко кто из абитуриентов начинает подготовку к централизованному тестированию больше, ...

Проблема заказных работ:

Предложение рождает спрос или спрос рождает предложение

News image

Проблема, как мне кажется, лежит не в том, что предложение безнравственных писателей порождает спрос студентов, заказывающих дип...

Статья про поиск и сохранение информации

News image

Как найти иголку в стоге сена Для поиска необходимой информации в сети Internet часто приходится прибегать к помощи поисковых...

Сделай себя лучшим:

Как улучшить работу мозга

News image

Альваро Фернандес, руководитель знаменитой американской консалтинговой компании SharpBrains, специализирующейся на рынке невроло...

Концентрация внимания – важное условие качественного об

News image

Наверняка вы часто замечали за собой, как трудно бывает сконцентрироваться на тексте конспекта или книги при подготовке к экзаме...

Авторизация